Question

已知椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1（a＞b＞0）和双曲线

x 2

m 2

-

y 2

n 2

=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F₁、F₂，以线段F₁F₂为边作正△F₁F₂M，若椭圆与双曲线的一个交点P恰好是MF₁的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为e_r和e_S，则e_r•e_S等于（　　）

• A、5
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定PF₁=c，再分别利用椭圆、双曲线的定义，结合离心率公式，即可得出结论．

解答： 解：由题意，PF₁=c，则
椭圆中，PF₂=2a-c=

3

c，∴e_r=

c

a

=

2

3 +1

，
双曲线中PF₂=2a+c=

3

c，∴e_s=

c

a

=

2

3 -1

，
∴e_r•e_S=

2

3 +1

×

2

3 -1

=2．
故选：B．

点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查离心率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．