Question

已知函数．
（1）若m=-3，求函数g（x）的单调区间；
（2）若对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当m=-3时，g'（x）=3x²+x-2=（x+1）（3x-2），由此能求出函数g（x）的单调区间．
（2）g'（x）=3x²+（m+4）x-2，由g′（0）=-2，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，知，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）当m=-3时，g'（x）=3x²+x-2=（x+1）（3x-2），
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＞0，得x＜-1，或x＞；
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＜0，得-1＜x＜，
∴增区间：，减区间：（-1，）
（2）g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴实数m的取值范围是{m|-}．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化能力和运算能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式知识的合理运用．