Question

已知函数，
（1）若m∈Z，判定f（x）的奇偶性；
（2）若，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

解：（1）m是奇数时，定义域是{ x|x≠0}，
f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，
m为偶数时，定义域是{ x|x≠0}，
f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），
f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

（2）由，得m=2，∴，
f（x）在（1，+∞）上的单调增函数，
证明：设a＞b＞1，f（a）-f（b）=a²+-b²-=（a+b）（a-b）-
=（a-b）（a+b-）
∵a＞b＞1，∴a-b＞0，a+b＞，∴（a-b）（a+b-）＞0，
∴f（a）-f（b）＞0，f（x）在（1，+∞）上的单调增函数．
分析：（1）分m是奇数，m为偶数两种情况来讨论，考查定义域及f（-x）与f（x）的关系，依据奇偶性的定义进行判断．
（2）由，得m=2，从而得到f（x）的解析式，设a＞b＞1，化简f（a）-f（b）的表达式为因式乘积的形式，判断符号，得出结论．
点评：本题考查判断函数奇偶性的方法及步骤，体现分类讨论的数学思想．