题目内容
已知在Rt△ABC中，其中∠A为直角，向量
=
+
，
=2
+3
，
=（2m+1）
+（m-3）
，其中
，
是互相垂直的两个单位向量．
（1）求实数m的值；
（2）过A作AE⊥BC于E，延长AE至D，使四边形ABDC为直角梯形（其中AC、BD为底边），用
，
表示
．
| OA |
| i |
| j |
| OB |
| i |
| j |
| OC |
| i |
| j |
| i |
| j |
（1）求实数m的值；
（2）过A作AE⊥BC于E，延长AE至D，使四边形ABDC为直角梯形（其中AC、BD为底边），用
| i |
| j |
| OD |
考点：平面向量数量积的运算,向量加减混合运算及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）以
，
为直角坐标系的单位向量建立直角坐标系．此时
=（1，1），
=（2，3），
=（2m+1，m-3），可得
，
．由∠A为直角，可得
•
=0，解得m即可．
（2）设
=（x，y），
=（x-2，y-3），
=（4，-2），利用
∥
，可得x+2y-8=0．又
=（x-1，y-1），
=（3，-4），利用
⊥
，可得
•
=0，3x-4y+1=0，联立解出即可．
| i |
| j |
| OA |
| OB |
| OC |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
（2）设
| OD |
| BD |
| AC |
| AC |
| BD |
| AD |
| BC |
| AD |
| BC |
| AD |
| BC |
解答：
解：（1）以
，
为直角坐标系的单位向量建立直角坐标系．
此时
=（1，1），
=（2，3），
=（2m+1，m-3），
=（1，2），
=（2m，m-4）．
∵∠A为直角，
∴
•
=2m+2（m-4）=0，解得m=2．
（2）设
=（x，y），
=（x-2，y-3），
=（4，-2），
∵
∥
，∴-2（x-2）=4（y-2），即x+2y-8=0．
又
=（x-1，y-1），
=（3，-4），
∵
⊥
，可得3（x-1）-4（y-1）=0，化为3x-4y+1=0，
联立
，解得
，
∴
=(3，
)，即
=3
+
．
| i |
| j |
此时
| OA |
| OB |
| OC |
| AB |
| AC |
∵∠A为直角，
∴
| AB |
| AC |
（2）设
| OD |
| BD |
| AC |
∵
| AC |
| BD |
又
| AD |
| BC |
∵
| AD |
| BC |
联立
|
|
∴
| OD |
| 5 |
| 2 |
| OD |
| i |
| 5 |
| 2 |
| j |
点评：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、直角梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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