Question

（A班）已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）点P（x，y）在圆C上移动，求x+y的取值范围；
（2）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
（3）从圆C外一点P（x₁，y₁）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得

x=-1+ 2 cosθ y=2+ 2 sinθ

，0≤θ＜2π，由此能求出x+y的取值范围．
（2）当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，由已知得

|-1+2-a|

2

=

2

；当截距为零时，设y=kx，同理可得k=2+

6

或k=2-

6

，由此能求出切线的方程．
（3）由已知得|PC|²-|CM|²=|PM|²=|PO|²，由此能求出点P坐标．

解答： 解：（1）∵圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，
圆心C（-1，2），半径r=

1

2

4+16-12

=

2

，
∴

x=-1+ 2 cosθ y=2+ 2 sinθ

，0≤θ＜2π，即P（-1+

2

cosθ，2+

2

sinθ），
∴x+y=-1+

2

cosθ+2+

2

sinθ
=2sin（θ+

π

4

）+1，
∴（x+y）_min=1-2=-1，（x+y）_max=1+2=3，
∴x+y的取值范围是[-1，3]．
（2）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆半径，即

|-1+2-a|

2

=

2

，
∴a=-1或a=3；
当截距为零时，设y=kx，同理可得k=2+

6

或k=2-

6

，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=（2+

6

）x或y=（2-

6

）x．
（3）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PC|²-|CM|²=|PM|²=|PO|²，
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₂²，
∴2x₁-4y₁+3=0，
∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0，
∵|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值为点O到直线2x-4y+3=0的距离d=

3 5

10

，
∴由

x12+y12= 9 20 2x1-4y1+3=0

，得

x1=- 3 10 y1= 3 5

，
则所求点P坐标为（-

3

10

，

3

5

）．

点评：本题考查两数和取值范围的求法，考查切线方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意圆的畚数方程的合理运用．