Question

已知点P（1，3）和⊙O：x²+y²=3，过点P的直线L与⊙O相交于不同两点A、B，在线段AB上取一点Q，满足

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

（λ≠0且λ≠±1），求证：点Q总在某定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），由

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，化简可得（ x12+y12 ）-λ²（x22+y22 ）=（1-λ²）（x+3y）．又点A，B在圆x²+y²=3上，可得即x+3y=3，从而得出结论．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由

AP

=-λ

PB

，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），即

x1-λx2=1-λ① y1-λy2=3(1-λ)②

．④
由

AQ

=λ

QB

，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即

x1+λx2=(1+λ)x③ y1+λy2=(1+λ)y④

．
①×③得  x12-법x22=（1-λ²） x，②×④可得 y12-법y22=3y（1-λ²）．
两式相加，得（ x12+y12 ）-λ²（x22+y22 ）=（1-λ²）（x+3y），
又点A，B在圆x²+y²=3上，∴x12+y12=3，x22+y22=3，再由λ≠±1，λ≠0，
可得 x+3y=3，故点Q总在直线x+3y=3上．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量坐标形式的运算，直线和圆的位置关系，式子的变形是解题的难点，属于中档题．