题目内容
已知函数g（x）=x2-（a+b）x+ab，其中a＞0，b＞0，函数f（x）=xg（x），
（1）当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，且f（x）在x=1处取到极大值，求a的值；
（2）若f（x）在x=x1和x=x2处分别取到极大值和极小值，记A[x1，f（x1）]，B[x2，f（x2）]，O是坐标原点，若直线OA与直线OB垂直，求a+b的最小值．
（1）当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，且f（x）在x=1处取到极大值，求a的值；
（2）若f（x）在x=x1和x=x2处分别取到极大值和极小值，记A[x1，f（x1）]，B[x2，f（x2）]，O是坐标原点，若直线OA与直线OB垂直，求a+b的最小值．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用,平面向量及应用
分析：（1）由函数g（x）=x2-（a+b）x+ab的图象是开口朝上，且以直线x=
为对称轴的抛物线，故当x=
时，函数g（x）取最小值，若当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，则g（
）=-(
)2≥0，故a=b，由f（x）在x=1处取到极大值，则
=1，联立方程可得a值；
（2）由直线OA与直线OB垂直，可得x1•x2+f（x1）•f（x2）=0，进而根据判断式法可得a+b的最小值．
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| a-b |
| 2 |
a+b-
| ||
| 3 |
（2）由直线OA与直线OB垂直，可得x1•x2+f（x1）•f（x2）=0，进而根据判断式法可得a+b的最小值．
解答：
解：（1）∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，ab＞0，
又由函数g（x）=x2-（a+b）x+ab的图象是开口朝上，且以直线x=
为对称轴的抛物线，
故当x=
时，函数g（x）取最小值，
若当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，则g（
）=-(
)2≥0，
即a=b，…①
又∵f（x）=xg（x）=x3-（a+b）x2+abx，
故f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=1处取到极大值，
则
=1…②，
解得a=b=3，
（2）∵f（x）=xg（x）=x3-（a+b）x2+abx，
∴f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=x1和x=x2处分别取到极大值和极小值，
则x1+x2=
，x1•x2=
，
∵f（x1）=x13-（a+b）x12+abx1，f（x2）=x23-（a+b）x22+abx2，
故f（x1）•f（x2）=
，
若直线OA与直线OB垂直，
则x1•x2+f（x1）•f（x2）=
=0
即ab[9+4a2b2-ab（a+b）2]=0，
即9+4a2b2-ab（a+b）2=0，
则△=（a+b）4-144≥0
解得a+b≥2
，
即a+b的最小值为2
∴a+b＞0，ab＞0，
又由函数g（x）=x2-（a+b）x+ab的图象是开口朝上，且以直线x=
| a+b |
| 2 |
故当x=
| a+b |
| 2 |
若当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，则g（
| a+b |
| 2 |
| a-b |
| 2 |
即a=b，…①
又∵f（x）=xg（x）=x3-（a+b）x2+abx，
故f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=1处取到极大值，
则
a+b-
| ||
| 3 |
解得a=b=3，
（2）∵f（x）=xg（x）=x3-（a+b）x2+abx，
∴f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=x1和x=x2处分别取到极大值和极小值，
则x1+x2=
| 2(a+b) |
| 3 |
| ab |
| 3 |
∵f（x1）=x13-（a+b）x12+abx1，f（x2）=x23-（a+b）x22+abx2，
故f（x1）•f（x2）=
| 4a3b3-a2b2(a+b)2 |
| 27 |
若直线OA与直线OB垂直，
则x1•x2+f（x1）•f（x2）=
| 9ab+4a3b3-a2b2(a+b)2 |
| 27 |
即ab[9+4a2b2-ab（a+b）2]=0，
即9+4a2b2-ab（a+b）2=0，
则△=（a+b）4-144≥0
解得a+b≥2
| 3 |
即a+b的最小值为2
| 3 |
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，向量垂直的充要条件，运算量大，综合性强，转化难度大，属于难题．
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