Question

【题目】如图，在三棱锥PABC中，底面ABC，，，，D，E分别是AC，PC的中点，F是PB上一点，且，M为PA的中点，二面角的大小为45°.

（1）证明：平面AEF；

（2）求直线AF与平面BCM所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接PD交AE于点O，因为D，E分别是AC，PC的中点，则点O是的重心，所以，连接OF，又，所以，从而可证明结论.
（2）由题意可证得即二面角的平面角，即，可得，则，得到，又由题意易知，CA，CB，CP两两垂直，故以C为坐标原点，直线CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求解线面角.

解：（1）连接PD交AE于点O，因为D，E分别是AC，PC的中点，

所以点O是的重心，所以.

连接OF，又，所以，则.

又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.

（2）因为底面ABC，平面ABC，所以.又，，

所以平面PAC.所以，又，所以即二面角的平面角，

所以，连接MD，易得，则，所以.

由题意易知，CA，CB，CP两两垂直，故以C为坐标原点，直线CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

所以，，.

设平面BCM的法向量为，则，得，得，

令，则，所以为平面BCM的一个法向量.

设直线AF与平面BCM所成的角为.

则

故直线AF与平面BCM所成角的正弦值为.