题目内容
【题目】某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第
件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格.设这批产品的数量足够大，可以认为每次检查查到不合格品的概率都为
，即每次抽查的产品是相互独立的.
（1）若
，求这批产品能够通过检查的概率；
（2）已知每件产品质检费用为50元，若
，设对这批产品的质检个数记作
，求的分布列；
（3）在（2）的条件下，已知1000批此类产品，若
，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用
每批次平均检查费用
批数）
【答案】（1）
（2）详见解析（3）
元
【解析】
（1）根据
，这批产品能够通过检查说明前
次都通过检查，即可得到
.
（2）根据题意得到
，2，3，4，分别计算概率再列出分布列即可.
（3）首先计算数学期望，令
，利用导数求出其最小值，即可得到答案.
（1）因为，记事件
为“当时，这批产品能够通过检查”，
则由题意知：.
（2）由题可知，2，3，4
，
，
，
所以
的分布列为：
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
（3）由（2）可知的数学期望为：
.
设
，
，
因为
，所以
，
所以
在
单调递减，
所以
所以每批次平均检查费用至少为
（元）
所以1000批次此类产品总平均检查费用至少需要
（元）
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