Question

【题目】已知函数，的导函数为.

（1）当时，证明：函数在上单调递增；

（2）若，讨论函数零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

（1）求出导函数，然后令，再求出导函数，由的正负确定的单调性，得的最小值．从而得，即，确定出的单调性；

（2）解方程，变形为，，最终转化为，这样利用导数研究函数的性质，得，分离参数得，此方程解的个数即为函数零点的个数，再由导数研究函数的性质后可得．

（1）证明：当时，，∴，

令，则，

当时，单调递减；当时，单调递增.

∴，∴当时，

∴在上单调递增.

（2）解：，

令，则，

∴，∴，∴，

令，则，

∵当时，∴当时为增函数，

∴，∴，

令，则，

当时，递减，当时，递增，∴，

∴当时无解，即无零点；

当时有1个解，即有1个零点；

当时有2个解，即有2个零点.