Question

20．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30）②[30，60）③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人：
（I）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（II）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生
住宿生		10
总计

据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？
（III）若在第①组、第 ②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
参考公式：${k^2}=\frac{{n{{（{{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}}）}^2}}}{{{n_{11}}{n_{21}}{n_{12}}{n_{22}}}}$．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出学习时间少于60分钟的频率为$\frac{5}{100}$，从而求出n=100，求出第④组的频率，从而求出第④组的高度，进而能求出频率分布直方图如图．
（2）由频率分布直方图求出2×2列联表，从而得K²≈3.030＜3.841，从而没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关．
（3）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=i）=$\frac{{C}_{5}^{i}{C}_{5}^{3-i}}{{C}_{10}^{3}}$，（i=0，1，2，3），由此能求出X的分布列和EX．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），
由图可知：P₁=$\frac{1}{3000}$×30=$\frac{1}{100}$，P₂=$\frac{1}{750}$×30=$\frac{4}{100}$，
∴学习时间少于60分钟的频率为P₁+P₂=$\frac{5}{100}$   
由题意：n×$\frac{5}{100}$=5∴n=100…（2分）
又P₃=$\frac{1}{375}$×30=$\frac{8}{100}$，P₅=$\frac{1}{100}$×30=$\frac{30}{100}$，
P₆=$\frac{1}{120}$×30=$\frac{25}{100}$，P₇=$\frac{1}{200}$×30=$\frac{15}{100}$，P₈=$\frac{1}{600}$×30=$\frac{5}{100}$
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）=$\frac{12}{100}$
∴第④组的高度为：h=$\frac{12}{100}$×$\frac{1}{30}$=$\frac{12}{3000}$=$\frac{1}{250}$
频率分布直方图如图．…（4分）
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，利用时间不充分的有15人，
从而2×2列联表如下：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	30	15	45
住宿生	45	10	55
总计	75	25	100

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：…（6分）
K²=$\frac{100×（30×10-45×15）2}{75×25×45×55}$=$\frac{100}{33}$≈3.030，
因为3.030＜3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关．…（8分）
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，
则X的所有可能取值为0，1，2，3
P（X=i）=$\frac{{C}_{5}^{i}{C}_{5}^{3-i}}{{C}_{10}^{3}}$，（i=0，1，2，3）
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}$=$\frac{1}{12}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{50}{120}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{50}{120}$=$\frac{5}{12}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}$=$\frac{1}{12}$…（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

∴EX=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{18}{12}$=$\frac{3}{2}$…（12分）．

点评 本题考查概率的求法，考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布的性质的合理运用．