题目内容

2．为了准备里约奥运会的选拔，甲、乙两人进行队内射箭比赛，各射4支箭，两人4次所得环数如表：（最高为10环）
甲6699
乙79xy
（Ⅰ）已知在乙的4支箭中随机选取1支时，此支射中环数小于6环的概率不为零，且在4支箭中，乙的平均环数高于甲的平均环数，求x+y的值；
（Ⅱ）如果x=6，y=10，从甲、乙两人的4次比赛中随机各选取1次，并将其环数分别记为a，b，求a≥b的概率；
（Ⅲ）在4次比赛中，若甲、乙两人的平均环数相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）

分析 （Ⅰ）由题意，得$\frac{7+9+x+y}{4}＞\frac{6+6+9+9}{4}$，且x，y中至少有一个小于6，x≤10，y≤10，x，y∈N，由此能求出x+y的值．
（Ⅱ）设“从甲、乙的4次比赛中随机各选取1次，且环数满足a≥b”为事件M，记甲的4次比赛为A1，A2，A3，A4，各次的环数分别是6，6，9，9．乙的4次比赛为B1，B2，B3，B4，各次的环数分别是7，9，6，10．由此利用列举法能求出a≥b的概率．
（Ⅲ）在4次比赛中，由甲、乙两人的平均环数相同，且乙的发挥更稳定，能写出x的所有可能取值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得$\frac{7+9+x+y}{4}＞\frac{6+6+9+9}{4}$，即x+y＞14．…（2分）
因为在乙的4支箭中，随机选取1支，则此支射中环数小于6环的概率不为零，
所以x，y中至少有一个小于6，…（4分）
又因为x≤10，y≤10，且x，y∈N，
所以x+y≤15，
所以x+y=15．…（5分）
（Ⅱ）设“从甲、乙的4次比赛中随机各选取1次，且环数满足a≥b”为事件M，…（6分）
记甲的4次比赛为A1，A2，A3，A4，各次的环数分别是6，6，9，9；
乙的4次比赛为B1，B2，B3，B4，各次的环数分别是7，9，6，10．
则从甲、乙的4次比赛中随机各选取1次，所有可能的结果有16种，
它们是：（A1，B1）（A1，B2）（A1，B3）（A1，B4）（A2，B1）（A2，B2）（A2，B3）（A2，B4）（A3，B1）（A3，B2）（A3，B3）
（A3，B4）（A4，B1）（A4，B2）（A4，B3）（A4，B4）．…（7分）
而事件M的结果有8种，它们是：（A1，B3）（A2，B3）（A3，B1）（A3，B2）（A3，B3）（A4，B1）（A4，B2）（A4，B3），…（8分）
因此事件a≥b的概率P（M）=$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$．…（10分）
（Ⅲ）x的可能取值为6，7，8．…（12分）

点评 本题考查代数式求和，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频数统计表的性质和列举法的合理运用．

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