Question

6．函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，且f（x）是奇函数，则对任意实数a，下列不等式成立的是（　　）

• A． F（-$\frac{3}{4}$）≤F（a²-a+1）
• B． F（-$\frac{3}{4}$）＞F（a²-a+1）
• C． F（-$\frac{3}{4}$）≥F（a²+a+1）
• D． F（-$\frac{3}{4}$）＜F（a²+a+1）

Answer 1

分析 首先判断出F（x）的是偶函数，然后根据函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，则知函数F（x）=xf（x）x∈R，在（0，+∞）上是增函数，再比较$\frac{3}{4}$和a²-a+1的大小，根据函数的单调性即可得到答案．

解答 解：∵y=x是奇函数，f（x）是奇函数，
∴函数F（x）=xf（x）是偶函数，
∴F（-$\frac{3}{4}$）=F（$\frac{3}{4}$），
∵函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，
∴函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（0，+∞）上是增函数，
∵a²-a+1=${（a-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
∴$F（\frac{3}{4}）$≤F（a²-a+1），
∵F（-$\frac{3}{4}$）=F（$\frac{3}{4}$），
∴F（-$\frac{3}{4}$）≤F（a²-a+1），
故选A．

点评 本题主要考查奇函数和函数单调性的应用的知识，解答本题的关键是能判断出函数F（x）的奇偶性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．