Question

已知函数f（x）=9^x-3^x+1+c（其中c是常数）．
（1）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立，求实数c的取值范围；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）令3^x=t把函数换元，化为关于t的二次函数，利用函数的单调性求出函数的最大值，由最大值小于0得答案；
（2）由（1）中二次函数的最小值小于0求解c的范围．

解答： 解：（1）f（x）=（3^x）²-3×3^x+c，令3^x=t，当x∈[0，1]时，t∈[1，3]．
问题转化为当t∈[1，3]时，g（t）=t²-3t+c＜0恒成立．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，即3²-3×3+c＜0，解得c＜0．
∴实数c的取值范围是（-∞，0）；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0，则存在t∈[1，3]，使g（t）=t²-3t+c＜0．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值g(

3

2

)＜0，即(

3

2

)2-3×

3

2

+c＜0，解得c＜

9

4

．
∴实数c的取值范围是(-∞，

9

4

)．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了换元法，训练了二次函数最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．