Question

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，设S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）当数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的性质与前n项和，求出首项与公差，写出通项公式；  
（2）写出数列{

1

Sn

}的通项公式，求出前n项和T_n．

解答： 解：（1）在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，S₃=a₄+6，
且a₁，a₄，a₁₃成等比数列；
∴

a1+a2+a3=a4+6 a42=a1•a13

，
即

3a1+3d=a1+3d+6 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

；
解得a₁=3，d=0或d=2；
当d=0时，a_n=3；
当d=2时，a_n=3+2（n-1）=2n+1；  
（2）当d=0时，a_n=3，s_n=3n，
∴

1

sn

=

1

3n

，
前n项和为T_n=

1

3

+

1

3×2

+…+

1

3n

；
当d=2时，a_n=3+2（n-1）=2n+1，
s_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴前n项和为
T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3n2+5n

2n2+6n+4

．

点评：本题考查了等差数列的应用问题，解题时应熟记等差数列的通项公式与求出前n项和公式，是计算题．