Question

10．某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．
（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；
（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185]	10	0.100
合计		100	1.00

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出第2组的频数，第3组的频率，即可求出①处的数据为35，②处的数据为0.300．
（Ⅱ）因利用分层抽样，求解第3，4，5组分别抽取人数．
（Ⅲ）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的位同学为C₁，列出从6位同学中抽两位同学有15种可能，第4组的两位同学至少有一位同学被选中的数目，然后求解概率．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为$\frac{30}{100}=0.300$．
即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）
（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：$\frac{30}{60}×6=3$人；第4组：$\frac{20}{60}×6=2$人；第5组：$\frac{10}{60}×6=1$人．
所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）
（Ⅲ）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的位同学为C₁，
则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）．
其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），（B₁，B₂）9种可能．
所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（13分）

点评 本题考查分层抽样，古典概型概率的求法，考查计算能力．