Question

在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB的中点．

(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；

(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.

 

Answer 1

解法一：(1)当M为棱PA的中点时，OM∥平面PBC.

证明如下：

∵M，O分别为PA，AB的中点，

∴OM∥PB.

又PB⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，

∴OM∥平面PBC.

(2)连接OC，OP.

∵AC＝CB＝，O为AB的中点，AB＝2，

∴OC⊥AB，OC＝1.

同理，PO⊥AB，PO＝1.

又PC＝，∴PC²＝OC²＋PO²＝2，

∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC.

∵AB∩OC＝O，

∴PO⊥平面ABC.

∵PO⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABC.

解法二：设＝a，＝b，＝c，则由条件知|a|＝|b|＝|c|＝，a·c＝b·c＝1，

在△PAB中，PA＝PB＝，AB＝2，∴PA⊥PB，∴a·b＝0.

(1)设＝λa，则＝－＝λa－(a＋b)＝(λ－)a－b，

∵OM∥平面PBC，

∴存在实数s，k，使＝sb＋kc，

∴sb＋kc＝(λ－)a－b，

由平面向量基本定理知，λ＝，s＝－，k＝0，

∴M为PA的中点．

(2) ＝(a＋b)，

∵·＝(a＋b)·(c－a)

＝(a·c＋b·c－|a|²－a·b)＝0，

·＝(a＋b)·(b－a)＝(|b|²－|a|²)＝0，

∴

∴是平面ABC的法向量，

又PO⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABC.