Question

如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁.已知∠BCA＝90°，AA₁＝AC＝BC＝2.

(1)证明：OE∥平面AB₁C₁；

(2)求异面直线AB₁与A₁C所成的角；

(3)求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

　解法1：(1)证明：∵点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，∴OE∥AC₁，

又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，

∴OE∥平面AB₁C₁.

(2)∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，

又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO＝O，

∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁.

又∵AA₁＝AC，∴四边形A₁C₁CA为菱形，

∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁＝C₁，

∴A₁C⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁C，

即异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°.

(3)∵O是A₁C₁的中点，AO⊥A₁C₁，∴AC₁＝AA₁＝2，

又A₁C₁＝AC＝2，∴△AA₁C₁为正三角形，

∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A₁B₁＝AB＝2，

设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，

∵VA－A₁B₁C₁＝VC₁－AA₁B₁，

即·(·A₁C₁·B₁C₁)·AO＝·S△AA₁B·d.

又∵在△AA₁B₁中，A₁B₁＝AB₁＝2，

∴S△AA₁B₁＝，∴d＝，

∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值为.

解法2：∵O是A₁C₁的中点，AO⊥A₁C₁，∴AC＝AA₁＝2，又A₁C₁＝AC＝2，∴△AA₁C₁为正三角形，∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A₁B₁＝AB＝2，

如图建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0,0，)，A₁(0，－1,0)，E(0，－，)，C₁(0,1,0)，B₁(2,1,0)，C(0,2，)．

(1)∵，

∴，即OE∥AC₁，

又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，

∴OE∥平面AB₁C₁.

(2)∵＝(2,1，－)，＝(0,3，)，

∴＝0，即∴AB₁⊥A₁C，

∴异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°.

(3)设A₁C₁与平面AA₁B₁所成角为θ，

设平面AA₁B₁的一个法向量是n＝(x，y，z)，

则

不妨令x＝1，可得n＝(1，－1，)，

∴sinθ＝cos＝，

∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值为.

[点评]　注意直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值．