Question

．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.

Answer 1

证法一：(1)

取CE的中点P，连接FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP＝DE.

又AB∥DE，且AB＝DE，

∴AB∥FP，且AB＝FP，

∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.

又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

(2)∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，

又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.

又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.

又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

证法二：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．

∵F为CD的中点，∴F(a，a,0)．

又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.