Question

已知直线l：y=x+t上的点P，从P引⊙○：x²+y²=2的一条切线（切点为Q），对于某一t的值，当点P在直线l上运动时，总存在定点M使得PM=PQ，则这样的t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：设点P（a，a+t），点M（b，c），由题意可得PQ²=PM²，化简可得（2b+2c）a=b²+c²+2-2ct 对任意的实数a都成立，故有

2b+2c=0 b2+c2+2-2ct=0

，可得t=c+

1

c

，c≠0．
分类讨论，利用基本不等式求得t的范围．

解答： 解：设点P（a，a+t），点M（b，c），由题意可得PQ²=PO²-2=a²+（a+t）²-2，PM²=（a-b）²+（a+t-c）²．
由题意可得  a²+（a+t）²-2=（a-b）²+（a+t-c）²，化简可得（2b+2c）a=b²+c²+2-2ct 对任意的实数a都成立，
故有

2b+2c=0 b2+c2+2-2ct=0

，可得t=c+

1

c

，c≠0．
当c＞0时，由基本不等式可得t≥2；当c＜0时，由基本不等式可得-t=-c+（-

1

c

）≥2，求得t≤-2．
综上可得，t的范围为（-∞，-2]∪[2，+∞），
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题主要考查圆的切线性质，函数的恒成立里问题，基本不等式的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．