Question

【题目】已知抛物线，过焦点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，为的准线上一点，且的面积为4.

（1）求抛物线的标准方程.

（2）设，若点是抛物线上的任一动点，则是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直线方程为，弦长为2.

【解析】

（1）由，可求出，即可得到抛物线的标准方程；（2）设存在直线：满足条件，，从而可表示出以为直径的圆的半径和圆心，及圆心到直线的距离，则圆的弦长为，列出对应的表达式即可得到当时，弦长为定值。

解：（1）易得．

所以.

（2）设存在直线：满足条件，

则的中点，

因此以为直径的圆的半径

点到直线的距离

所截弦长为

要使弦长与变量无关，则令即时，弦长为定值2，

这时直线方程为.

故存在垂直于轴的定直线，被以为直径的圆截得的弦长为2.