题目内容
10．点P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右支上第一象限内的一点，其右焦点为F2，若直线PF2的斜率为$\sqrt{3}$，M为线段PF2的中点，且|OF2|=|F2M|，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．分析 设|PF2|=t，则|OF2|=|F2M|=$\frac{1}{2}$t=c，求得直线PF2的倾斜角为60°，由三角函数的定义，可得P（2c，$\sqrt{3}$c），代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．
解答 解：设|PF2|=t，则|OF2|=|F2M|=$\frac{1}{2}$t=c，
即t=2c，由直线PF2的斜率为$\sqrt{3}$，可得
直线PF2的倾斜角为60°，
可得P（c+2ccos60°，2csin60°），
即为P（2c，$\sqrt{3}$c），代入双曲线的方程可得
$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由b2=c2-a2，e=$\frac{c}{a}$，可得4e2-$\frac{3{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，
化为4e4-8e2+1=0，
解得e2=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$（$\frac{4-2\sqrt{3}}{4}$舍去），
即有e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角函数的定义和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| A． | （$\sqrt{2}$，+∞） | B． | （$\sqrt{3}$，+∞） | C． | （2，+∞） | D． | （$\sqrt{5}$，+∞） |
1．若正四棱锥的侧棱长为$\sqrt{3}$，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | D． | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ |
5．
如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，则该双曲线离心率e的取值范围为（ ）
如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，则该双曲线离心率e的取值范围为（ ）| A． | $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$ | B． | $[{\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$ | C． | $[{\sqrt{2}，2+\sqrt{3}}]$ | D． | $[{\sqrt{3}，\sqrt{3}+1}]$ |
19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与函数y=$\sqrt{x}$（x≥0）的图象交于点P，若函数y=$\sqrt{x}$的图象与点P处的切线过双曲线左焦点F（-4，0），则双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{17}+4}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{17}+3}{4}$ | C． | $\frac{\sqrt{17}+2}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{17}+1}{4}$ |