Question

20．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式$f（n-3）+f（\sqrt{4m-{m^2}-3}）=0$，则$\frac{n}{m}$的取值范围是（　　）

• A． $[2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $[1，2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$
• C． $[2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，3]$
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由函数f（x）是递增函数，且y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，
再结合f（n-3）+f（$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$）=0可得（n-3）+$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$=0，进而利用数形结合求出结果．

解答 解：f（x）是定义在R上的增函数，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数f（x）是奇函数；
又f（n-3）+f（$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$）=0，
所以（n-3）+$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$=0，且4m-m²-3≥0；
即$\left\{\begin{array}{l}{{（m-2）}^{2}{+（n-3）}^{2}=1}\\{1≤m≤3}\\{2≤n≤3}\end{array}\right.$，
画出不等式组表示的图形，如图所示；
则实数m，n表示一段圆弧，
所以$\frac{n}{m}$表示圆弧上的点（m，n）与点（0，0）连线的斜率，
所以结合图象可得：$\frac{n}{m}$的最大值是直线OA的斜率，为$\frac{3-0}{1-0}$=3，
最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=km}\\{{（m-2）}^{2}{+（n-3）}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去n，得（m-2）²+（km-3）²=1，
整理得（k²+1）m²-（6k+4）m+12=0，
令△=（6k+4）²-4×12×（k²+1）=0，
化简得3k²-12k+8=0，
解得k=2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
应取k=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$为最小值；
所以$\frac{n}{m}$的取值范围是：[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，3]．
故选：C．

点评 本题考查了抽象函数的性质与应用问题，也考查了掌握知识与运用知识的能力，是综合性题目．