Question

8．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r$（0＜r＜\sqrt{3}）$，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程$f（r）=\frac{3π}{2}$的解集为$\{1，\sqrt{2}\}$．

Answer 1

分析 根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．

解答 解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．
当0＜r≤1时，f（r）=3×$\frac{1}{4}×2πr$=$\frac{3π}{2}r$，
当r∈（1，$\sqrt{2}$]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，
由于f（1）=f（$\sqrt{2}$）=$\frac{3π}{2}$，
∴关于r的方程$f（r）=\frac{3π}{2}$的解集为$\{1，\sqrt{2}\}$，
故答案为$\{1，\sqrt{2}\}$．

点评 本题主要考查函数图象的识别和判断，解题的关键是认识到P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．