Question

15．已知不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0，则不等式cx²+bx+a＜0的解集为（　　）

• A． （$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{m}$）
• B． （$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{n}$）∪（$\frac{1}{m}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{m}$）∪（$\frac{1}{n}$，+∞）

Answer 1

分析 依题意，a＜0，m+n=-$\frac{b}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$＞0，从而可求得b，c，代入cx²+bx+a＜0即可求得答案．

解答 解：∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（m，n）（0＜m＜n），
∴a＜0，m+n=-$\frac{b}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$，
∴b=-a（m+n），c=amn，
∴cx²+bx+a＜0?amnx²-a（m+n）x+a＜0，
∵a＜0，
∴mnx²-（m+n）x+1＞0，
即（mx-1）（nx-1）＞0，又0＜m＜n，
∴$\frac{1}{m}$＞$\frac{1}{n}$，
∴x＞$\frac{1}{m}$或x＜$\frac{1}{n}$，
故不等式cx²+bx+a＜0的解集是（-∞，$\frac{1}{n}$）∪（$\frac{1}{m}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查，一元二次不等式的解法，求得b=-a（m+n），c=amn（a＜0），是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．