Question

已知双曲线

x2

9-k

+

y2

k-4

=1的离心率e＜2，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由方程表示双曲线求得k的范围，然后分类求出a²，c²，结合离心率e＜2求解k的范围．

解答： 解：∵

x2

9-k

+

y2

k-4

=1为双曲线的方程，
∴（9-k）（k-4）＜0，即k＜4或k＞9，
当k＜4时，双曲线方程为

x2

9-k

-

y2

4-k

=1，
a²=9-k，b²=4-k，
c²=a²+b²=13-2k，
由e=

c

a

＜2，得

c2

a2

＜4，即

13-2k

9-k

＜4，解得：k＜

23

2

，
∴k＜4；
当k＞9时，双曲线方程为

y2

k-4

-

x2

k-9

=1，
a²=k-4，b²=k-9，
c²=a²+b²=2k-13，
由e=

c

a

＜2，得

c2

a2

＜4，即

2k-13

k-4

＜4，解得：k＞

3

2

，
∴k＞9．
综上，k的范围是k＜4或k＞9．
故答案为：k＜4或k＞9．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．