Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（1，-1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小
（Ⅱ）若a=1，2c-（

3

+1）b=0，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，根据两向量垂直时满足的条件列出关系式，整理求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA，表示出的c代入求出b的值，进而求出c的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（1，-1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

，
∴cosBcosC-sinBsinC+

3

2

=0，
整理得cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA=-

3

2

，即cosA=

3

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

π

6

；
（Ⅱ）∵A=

π

6

，a=1，2c-（

3

+1）b=0，
∴由余弦定理，得1=b²+

4+2 3

4

b²-

3+ 3

2

b²，
解得：b=

2

，c=

3 +1

2

b=

6 + 2

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

6 + 2

2

×

1

2

=

3 +1

4

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．