Question

椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于    ．

Answer 1

【答案】分析：由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得，进而．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．
解答：解：如图所示，
由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，∴，∴．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，则，解得．
∴该椭圆的离心率e=．
故答案为．
点评：本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．