Question

（2012•河南模拟）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

1

2

，则

b2+1

3a

的最小值为（　　）

• A．

  3

  3

• B．1
• C．

  2 3

  3

• D．2

Answer 1

分析：由题意可得c=

1

2

a，b²=a²-c²=

3a2

4

，代入

b2+1

3a

=

3a2 4 +1

3a

=

a

4

+

1

3a

，利用基本不等式可求最小值

解答：解：由题意可得，

c

a

=

1

2

即c=

1

2

a
∴b²=a²-c²=

3a2

4

则

b2+1

3a

=

3a2 4 +1

3a

=

a

4

+

1

3a

≥2

a 4 • 1 3a

=

3

3

当且仅当

a

4

=

1

3a

即a=

3

2

时取等号
∴

b2+1

3a

的最小值为

3

3

故选A

点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合