题目内容
（2012•潍坊二模）如图，已知F（2，0）为椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点F斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆相交于两点P、Q．若存在一定点E（m，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等，求m的值．
分析：（Ⅰ）由题意可把A、C、D的坐标用含有a，b的代数式表示，由∠CAD=90°，得到
•
=0，代入坐标可得关于a，b的方程，结合a2=b2+4可求解a，b的值，则椭圆方程渴求；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和与积，由定点E（m，0）使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等得到kEP+kEQ=0，由两点写出斜率代入后再把两根的和与积代入即可求得m的值．
| AC |
| AD |
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和与积，由定点E（m，0）使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等得到kEP+kEQ=0，由两点写出斜率代入后再把两根的和与积代入即可求得m的值．
解答：解：（Ⅰ）F（2，0），则A(2，
)，C(1，y0)，D(1，-y0)，其中y0=
．
所以
=(-1，y0-
)，
=(-1，-y0-
)．
因为∠CAD=90°，所以
•
=0．
所以1=y02-
，即
-
=1，
联立a2=b2+4解得a2=6，所以b2=2．
可得椭圆方程为
+
=1；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0）．
由
，得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0．
所以x1+x2=
，x1x2=
．
根据题意，x轴平分∠PEQ，则直线EP，EQ的倾斜角互补，即kEP+kEQ=0．
设E（m，0），则有
+
=0．（当x1=m或x2=m时不合题意）
将y1=k（x1-2），y2=k（x2-2）代入上式，得
+
=0．
又k≠0，所以
+
=0．
即
=0．
即
=0，
∴2x1x2-（m+2）（x1+x2）+4m=0．
将x1+x2=
，x1x2=
代入，解得m=3．
| b2 |
| a |
b
| ||
| a |
所以
| AC |
| b2 |
| a |
| AD |
| b2 |
| a |
因为∠CAD=90°，所以
| AC |
| AD |
所以1=y02-
| b4 |
| a2 |
| b2(a2-1) |
| a2 |
| b4 |
| a2 |
联立a2=b2+4解得a2=6，所以b2=2．
可得椭圆方程为
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0）．
由
|
所以x1+x2=
| 12k2 |
| 1+3k2 |
| 12k2-6 |
| 1+3k2 |
根据题意，x轴平分∠PEQ，则直线EP，EQ的倾斜角互补，即kEP+kEQ=0．
设E（m，0），则有
| y1 |
| x1-m |
| y2 |
| x2-m |
将y1=k（x1-2），y2=k（x2-2）代入上式，得
| k(x1-2) |
| x1-m |
| k(x2-2) |
| x2-m |
又k≠0，所以
| x1-2 |
| x1-m |
| x2-2 |
| x2-m |
即
| (x1-2)(x2-2)+(x2-2)(x1-m) |
| (x1-m)(x2-m) |
即
| 2x1x2-(m+2)(x1+x2)+4m |
| (x1-m)(x2-m) |
∴2x1x2-（m+2）（x1+x2）+4m=0．
将x1+x2=
| 12k2 |
| 1+3k2 |
| 12k2-6 |
| 1+3k2 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法及学生的运算能力，解答的关键是计算的准确性，是有一定难度题目．
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