Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长是常数，当两准线间的距离取得最小值时，椭圆的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：先根据椭圆的方程得出椭圆的两准线间的距离，再利用基本不等式求出当两准线间的距离取得最小值时b，c的关系式，从而得到椭圆的离心率．

解答：解：∵两准线间的距离为

2a2

c

=

2(b2+c2)

c

=2(

b2

c

+c)≥2×2

b2 c ×c

=4b，
当且仅当

b2

c

=c即c=b时取等号，
即c=b时两准线间的距离取得最小值，
∴当两准线间的距离取得最小值时，
椭圆的离心率为e=

c

a

=

c

b2+c2

=

b

b2+b2

=

2

2

，
故选B．

点评：本题考查基本不等式的应用和椭圆的简单性质的应用，本题解题的关键是正确利用基本不等式来做出当c=b时两准线间的距离取得最小值，本题是一个基础题．