Question

4．已知函数f（x）=ax²+lnx．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]的值域；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间（1，2）上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值，求出函数的值域即可；
（2）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间；
（3）问题转化为h（x）=2ax²+1在（1，2）有解，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx，（x＞0），
f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）递增，在（1，e]递减，
而f（$\frac{1}{e}$）=-1-$\frac{1}{{2e}^{2}}$，f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（e）=1-$\frac{1}{2}$e²＜f（$\frac{1}{e}$），
故函数的值域是[1-$\frac{1}{2}$e²，-$\frac{1}{2}$]．
（2）要使函数有意义，则x＞0，
函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$，
若a≥0，则f'（x）＞0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）．
若a＜0，由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，即此时函数的减区间为（0，$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$），增区间为（$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，+∞），
综上：若a≥0，函数的增区间为（0，+∞）．
若a＜0，函数的减区间为（0，$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$），增区间为（$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，+∞）．
（3）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$，（x＞0），
若函数f（x）在区间（1，2）上不单调，
则h（x）=2ax²+1在（1，2）有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{1＜\sqrt{-\frac{1}{2a}}＜2}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用、分类讨论思想有解二次函数的性质，是一道中档题．