Question

19．设曲线C：y=alnx（a≠0）在点T（x₀，alnx₀）处的切线与x轴交于点A（f（x₀），0），函数g（x）=$\frac{2x}{1+x}$．
（1）求f（x₀），并求出f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）设在区间（0，1）上，方程f（x）=k的实数解为x₁，g（x）=k的实数解为x₂，比较x₂与x₁的大小．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义求f（x₀），取得函数的单调性，求出f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）作差，构造函数，确定函数值的范围，即可比较x₂与x₁的大小．

解答 解：（1）曲线C：y=alnx（a≠0）在点T（x₀，alnx₀）处的切线方程为y-alnx₀=$\frac{a}{{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0，可得x=x₀-x₀lnx₀，
∴f（x₀）═x₀-x₀lnx₀；
故f（x）=x-xlnx，f′（x）=-lnx．
0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增，x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1时，f（x）取得极大值f（1）=1，无极小值；
（2）由题意，f（x₁）=k，g（x₂）=k，∴$\frac{2{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=k，∴x₂=$\frac{k}{2-k}$，
k=f（x₁），代入，x₂=$\frac{f（{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$
∴x₂-x₁=$\frac{f（{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$-x₁=$\frac{{x}_{1}（1+{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$[（1-lnx₁）-$\frac{2}{1+{x}_{1}}$]，
∵x₁∈（0，1），由（1）可知f（x₁）＜1，2-f（x₁）＞0，
∴$\frac{{x}_{1}（1+{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$＞0．
令h（x）=1-lnx-$\frac{2}{1+x}$，h′（x）=-$\frac{1+{x}^{2}}{x（1+x）^{2}}$＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴（1-lnx₁）-$\frac{2}{1+{x}_{1}}$＞0，
∴x₂-x₁＞0，∴x₂＞x₁．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．