Question

16．如图，△CDE所在的平面与正方形ABCD所在的平面相交于CD，且AE⊥平面ABCD，AB=2AE=2．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE
（2）设点F是棱BC的中点，求直线DF与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABCD⊥平面ADE；
（2）建立空间坐标系，求出平面CDE的法向量，利用向量法结合线面角的关系进行求解即可．

解答 解：（1）证明：∵AE⊥平面ABCD，AE?平面平面ADE；
∴平面ABCD⊥平面ADE
（2）建立以A为坐标原点，AD，AB，AE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=2AE=2，
∴AE=1，
∵点F是棱BC的中点
∴A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，1），
F（1，2，0），C（2，2，0），
则$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-2，0，1），
设平面CDF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DC}$=2y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DE}$=-2x+z=0，
令x=1，则z=2，y=0，
则$\overrightarrow{m}$=（1，0，2），
$\overrightarrow{DF}$=（-1，2，0），
设直线DF与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{-1}{\sqrt{1+4}•\sqrt{1+4}}$=$\frac{1}{5}$，
即直线DF与平面CDE所成角的正弦值是$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及线面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间角常用的方法．