Question

12．图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，∠ADC=120°，底面ABCD为菱形，G为PC的中点，E，F分别为AB，PB上一点，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，PB=4PF．
（1）求证：EF∥平面BDG；
（2）求二面角C-DF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥PA，连结AC，交BD于点O，连结OG，推导出OG∥PA，从而EF∥OG，由此能证明EF∥平面BDG．
（2）以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，过O坐平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-DF-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB=4AE，PB=4PF，∴EF∥PA，
连结AC，交BD于点O，连结OG，
∵ABCD为菱形，∴O为AC的中点，
又G为PC的中点，∴OG∥PA，
∴EF∥OG，
又EF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴EF∥平面BDG．
解：（2）以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，过O坐平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2$\sqrt{6}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），C（-2$\sqrt{6}$，0，0），D（0，-2$\sqrt{2}$，0），
设P（0，-2$\sqrt{2}$，m），m＞0，则$\overrightarrow{PA}$=（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，-m），$\overrightarrow{PC}$=（-2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，-m），
则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-（2$\sqrt{6}$）²+（2$\sqrt{2}$）²+m²=0，解得m=4，
∴$\overrightarrow{PF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PF}$=（0，$\sqrt{2}$，3），$\overrightarrow{DC}$=（-2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，0），
设平面CDF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，-3，$\sqrt{2}$），
平面BDF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角C-DF-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$，
∴二面角C-DF-B的余弦值为$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．