Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x²-2x+13．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的值域；
（3）当x∈[1，5]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：

分析：（1）由f（x）+f（x+1）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2-2x+13，由此求出a，b，c的值，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）（3）分别求出函数的单调区间，从而求出函数的值域，最值问题．

解答： 解：（1）由f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
得f（x）+f（x+1）=2ax²+（2a+2b）x+a+b+2c
=2x²-2x+13，
∴

2a=2 2a+2b=-2 a+b+2c=13

，解得：

a=1 b=-2 c=7

，
∴f（x）=x²-2x+7；
（2）∵f（x）=x²-2x+7=（x-1）²+6，
∴f（x）在[1，3]递增，
∴f（x）_min=f（1）=6，f（x）_max=f（3）=10，
∴当x∈[1，3]时，f（x）∈[6，10]；
（3）∵f（x）在[1，5]递增，
∴f（x）_max=f（5）=22．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，函数的最值问题，是一道基础题．