Question

3．在公差不为零的等差数列{a_n}中，已知a₁=1，且a₁，a₂，a₅依次成等比数列．数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1，且b₁=3．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n（b_n-1）}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₂，a₅依次成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₅即（1+d）²=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1，且b₁=3．
变形为：b_n+1-1=2（b_n-1），
∴数列{b_n-1}是等比数列，首项与公比都为2．
b_n-1=2ⁿ，可得b_n=2ⁿ+1．
∴a_n=2n-1，${b_n}={2^n}+1$．
（2）a_n（b_n-1）=（2n-1）•2ⁿ．
数列{a_n（b_n-1）}的前n项和为S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴-S_n=2+2（2²+3²+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-2+2×$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
可得：${S_n}=（2n-3）•{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．