题目内容

20．椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成直角三角形，则该椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析 根据题意，作出椭圆的图象，由∠ABC=90°分析可得b=c，由椭圆的性质可得a2=b2+c2=2c2，即a=$\sqrt{2}$c，进而由椭圆离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，设椭圆的焦点在x轴上，如图，OA=OC=c，OB=b，
若∠ABC=90°，
则有b=c，
故a2=b2+c2=2c2，即a=$\sqrt{2}$c，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，关键是依据题意，作出图形，分析a、b、c之间的关系．

练习册系列答案
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10．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过点E（0，4）作关于y轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y轴左边的交点由上到下依次为A，B，y轴右边的交点由上到下依次为C，D，求证：直线AD过定点，并求出定点坐标．
11．在△ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以$\frac{1}{3}$为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
8．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（$\frac{b}{2}$t+$\frac{c}{2}$）2，（c为椭圆的半焦距）对任意t∈[1，2]恒有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围为（　　）
A．（0，$\frac{4}{5}$]B．（$\frac{4}{5}$，1）C．（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]D．（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{5}$）
15．已知直线y=x+2与圆x2+y2=6相交的弦长等于椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长，且椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，抛物线C：y2=4x
（1）求该椭圆的方程；
（2）经过椭圆的右焦点F作互相垂直的直线分别交曲线C及椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）于点M，N，A，B四点，其中M，N在抛物线C上，A，B在椭圆上，试求$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范围．
5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
12．在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）AB与A1D1是否垂直？
（2）AC与B1D1是否垂直？
9．已知（3$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）n二项展开式中各项系数之和为64
（1）求n的值；
（2）展开式中的常数项．
10．如果曲线y=2sin$\frac{x}{2}$的两条互相垂直的切线交于P点，则P点的坐标不可能是（　　）
A．（π，π）B．（3π，-π）C．（5π，-π）D．（7π，-π）

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