Question

13．已知复数z=3+4i对应点为A，且z恰好为二次方程x²+px+q=0的一个根．
（1）求实数p，q的值；
（2）若点O为原点，求与$\overrightarrow{OA}$同向的单位向量．

Answer 1

分析 （1）复数z=3+4i对应点为A，且z恰好为二次方程x²+px+q=0的一个根．$\overline{z}$=3-4i也为此方程的一个根，利用根与系数的关系即可得出．
（2）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），则与$\overrightarrow{OA}$同向的单位向量=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$．

解答 解：（1）∵复数z=3+4i对应点为A，且z恰好为二次方程x²+px+q=0的一个根．
∴$\overline{z}$=3-4i也为此方程的一个根，则z+$\overline{z}$=6=-p，z•$\overline{z}$=（3+4i）（3-4i）=25=q，
∴p=-6，q=25．
（2）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），
则与$\overrightarrow{OA}$同向的单位向量=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{（3，4）}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．

点评 本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次的根与系数的关系、复数的几何意义、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．