Question

1．为改善城市雾霾天气造成的空气污染，社会各界掀起净化、美化环境的热潮．某单位计划在办公楼前种植 A，B，C，D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A，B两棵树种成活的概率均为$\frac{1}{2}$，另外两棵树种的成活率都为a（0＜a＜1）．
（1）若出现A，B有且只有一棵成活的概率与C，D都成活的概率相等，求a的值；
（2）当a=$\frac{2}{3}$时，记ξ为最终成活的树的数量，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）A，B两棵树的成活的概率均为$\frac{1}{2}$，另外两棵树C，D成活概率都为a（0＜a＜1），出现A，B有且只有一棵成活的概率与C，D都成活的概率相等，可得2×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=a²．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4．P（ξ=0）=${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}•$${∁}_{2}^{0}（1-\frac{2}{3}）^{2}$，P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$×${∁}_{2}^{0}$×$（1-\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}$$•{∁}_{2}^{1}•\frac{2}{3}$×$（1-\frac{2}{3}）$，P（ξ=3）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{1}$$•\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$+${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$$•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$．P（ξ=4）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）．

解答 解：（1）∵A，B两棵树的成活的概率均为$\frac{1}{2}$，另外两棵树C，D成活概率都为a（0＜a＜1），
出现A，B有且只有一棵成活的概率与C，D都成活的概率相等，
∴2×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=a²，∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}•$${∁}_{2}^{0}（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{36}$．
P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$×${∁}_{2}^{0}$×$（1-\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}$$•{∁}_{2}^{1}•\frac{2}{3}$×$（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{6}$．
P（ξ=3）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{1}$$•\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$+${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$$•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$．
P（ξ=4）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{9}$．
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=$\frac{13}{36}$．
可得分布列：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{36}$+1×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{1}{9}$=$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了随机变量的概率计算公式及其数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．