Question

19．已知sinα+cosα=-$\frac{1}{2}$，则tan²α+cot²α=$\frac{46}{9}$．

Answer 1

分析 采用两边平方，即（sinα+cosα）²=$\frac{1}{4}$，根据同角三角函数关系式和万能公式化简，得$\frac{tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$-\frac{3}{8}$，即tanα+$\frac{1}{tanα}$=$-\frac{8}{3}$则tan²α+cot²α=$（tanα+\frac{1}{tanα}）^{2}-2$即得答案．

解答 解：由sinα+cosα=-$\frac{1}{2}$，
可得sin²α+cos²α+2sinαcosα=$\frac{1}{4}$．即sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$-\frac{3}{8}$．
同时除以cos²α，
可得：$\frac{tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$-\frac{3}{8}$，
得：tanα+$\frac{1}{tanα}$=$-\frac{8}{3}$
则tan²α+cot²α=$（tanα+\frac{1}{tanα}）^{2}-2$=$\frac{64}{9}-2=\frac{46}{9}$．
故答案为：$\frac{46}{9}$．

点评 本题考查了同角三角函数关系式和万能公式化简能力和计算能力，属于中档题．