Question

8．已知直线y=x+b（b＞0）上存在唯一一点A，满足点A到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和等于2$\sqrt{2}$，则b=$\sqrt{3}$，点A的坐标为（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求得椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得b的值，然后进一步求得点A的坐标．

解答 解：如图，
∵直线y=x+b（b＞0）上存在唯一一点A，满足点A到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和等于2$\sqrt{2}$，
∴直线y=x+b为椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$的切线．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4bx+2b²-2=0．
由△=16b²-12（2b²-2）=-8b²+24=0，解得b=$\sqrt{3}$（b＞0）．
代入3x²+4bx+2b²-2=0，得$3{x}^{2}+4\sqrt{3}x+4=0$，解得x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴y=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
则A（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：$\sqrt{3}$；（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了利用方程思想求未知数的值，是中档题．