Question

16．函数f（x）=tan（3x+φ）的图象的一个对称中心是（$\frac{π}{4}$，0），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，试求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 根据正切函数的对称性，求出φ的值，然后利用正切函数的单调性的性质进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=tan（3x+φ）的图象的一个对称中心是（$\frac{π}{4}$，0），
∴3×$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{kπ}{2}$，得φ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{4}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=2时，φ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{4}$=π-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=tan（3x+$\frac{π}{4}$），
由kπ-$\frac{π}{2}$＜3x+$\frac{π}{4}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为（$\frac{kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$），k∈Z．

点评 本题主要考查正切函数的性质，根据正切函数的对称性求出φ的值是解决本题的关键．