Question

19．直线l过点P（2，3）且分别与x、y正半轴于A，B两点，O为原点．
（1）当|OA|•|OB|取最小时，求直线l的方程；
（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设AB的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=1，利用基本不等式算出ab≥24，可得当且仅当a=4且b=6时，△AOB的面积S有最小值为12，进而算出此时的直线l方程；
（2）设∠PAO=θ，则可得θ∈（0，$\frac{π}{2}$），|PA|=$\frac{3}{sinθ}$，|PB|=$\frac{2}{cosθ}$，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|，由正弦函数的值域可得当θ=45°时，|PA|•|PB|取最小值12．而此时直线的倾斜角为135°，得到斜率为-1，利用点斜式方程列式，化简可得直线l的方程．

解答 解：（1）设直线AB的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
∵点P（2，3）在直线上，∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=1，
由基本不等式，得1=$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{3}{b}}$，当且仅当a=4且b=6时，等号成立，
∴ab≥24，
因此|OA|•|OB|取最小值为12，
此时的直线方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1$，即3x+2y-12=0．
（2）设∠PAO=θ，则可得θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵|PA|=$\frac{3}{sinθ}$，|PB|=$\frac{2}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{3}{sinθ}$•$\frac{2}{cosθ}$=$\frac{12}{sin2θ}$，
∴当2θ=90°，即θ=45°时，|PA|•|PB|取最小值12，
此时，直线的倾斜角为135°，斜率为-1，
直线l的方程为y-3=-1（x-2），化为一般式可得x+y-5=0．

点评 本题给出直线经过定点，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．