Question

已知函数f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R，f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值-9
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若不等式f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7≈1.95，ln8≈2.08）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，得到方程组，求出a，b，从而求出函数表达式，进而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）将问题转化为x+

k+1

x

+4-klnx＞0，记g（x）=x+

k+1

x

+4-klnx，通过求导得到函数的单调性，从而有g（x）≥g（k+1）=k+6-kln（k+1），问题转化为k+6-kln（k+1）＞0，记h（x）=1+

6

x

-ln（x+1），通过求导得到函数h（x）的单调性，从而得到k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f′（x）=3ax²-2x+b，因为函数在x=3时有极小值-9，
所以

27a-6+b=0 27a-9+3b=-9

，从而得a=

1

3

，b=-3，
所求的f（x）=

1

3

x³-x²-3x，所以f′（x）=x²-2x-3，
由f′（x）＜0解得-1＜x＜3，
所以f（x）的单调递减区间为（-1，3）．
（Ⅱ）因为f′（x）=x²-2x-3，所以f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4等价于
x²+4x+1＞k（xlnx-1），即x+

k+1

x

+4-klnx＞0，
记g（x）=x+

k+1

x

+4-klnx，
则g′（x）=

(x+1)(x-k-1)

x2

，
由g′（x）=0，得x=k+1，
所以g（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（k+1）=k+6-kln（k+1），
g（x）＞0对任意正实数x恒成立，
等价于k+6-kln（k+1）＞0，即1+

6

k

-ln（k+1）＞0，
记h（x）=1+

6

x

-ln（x+1），
则h′（x）=-

6

x2

-

1

x+1

＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又h（6）=2-ln7＞0，h（7）=

13

7

-ln8＜0，
所以k的最大值为6．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了转化思想，考查了导数的应用，是一道中档题．