Question

已知直线l：y=kx-1（k＞0）与抛物线C：x²=4y交于点M，N两点，F为抛物线C的焦点，若|MF|=2|NF|，则实数k的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线l：y=kx-1（k＞0）即为x=

1

k

（y+1），代入抛物线方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由判别式大于0，韦达定理及抛物线的定义，解方程即可得到k，注意检验判别式．

解答： 解：直线l：y=kx-1（k＞0）即为x=

1

k

（y+1），
代入抛物线方程，可得y²+（2-4k²）y+1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则判别式（2-4k²）²-4＞0，
y₁+y₂=4k²-2①，y₁y₂=1②，
由于抛物线的准线为y=-1，
则有抛物线的定义可得，
|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
由|MF|=2|NF|，甲乙y₁+1=2（y₂+1）③，
由①②③解得k²=

9

8

，检验判别式大于0成立，
则k=

3 2

4

．
故答案为：

3 2

4

．

点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于基础题．