Question

1．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥AC，且A₁B=AC=5，AA₁=BC=13，且AB=12．
（1）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求二面角A-BB₁-C的正切值的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥AB，A₁B⊥AC，从而AC⊥平面ABB₁A₁，由此能证明平面ABB₁A₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BB₁-C的正切值．

解答 证明：（1）在△ABC中，∵AB²+AC²=BC²，∴AC⊥AB，…（2分）
又∵A₁B⊥AC且A₁B、AC是面ABB₁A₁内的两条相交直线，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，..…（4分）
又AC?平面ACC₁A₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ACC₁A₁．…（5分）
解：（2）在△ABC中，∵${A_1}{B^2}+A{B^2}=A{A_1}^2$，∴A₁B⊥AB，
又∵A₁B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，∴A₁B⊥面ABC，…（7分）
∴以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA₁为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0），A₁（0，0，5），
由$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{A{A_1}}$，得B₁（-12，0，5），…（8分）
取平面ABB₁A₁的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，0），
设平面BCC₁B₁的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{B{B_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}-12x+5z=0\\ 12x+5y=0.\end{array}\right.$
取x=5，则$\overrightarrow{n_2}=（5，-12，12）$…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|{\overrightarrow{{n}_{1}}}_{\;}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{12}{\sqrt{313}}$，
设A-BB₁-C的大小为θ，
则$cosθ=\frac{12}{{\sqrt{313}}}$，$tanθ=\frac{13}{12}$．
∴二面角A-BB₁-C的正切值的大小为$\frac{13}{12}$…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．