Question

13．如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD为地面的直四棱柱被平面A₁B₁C₁D₁所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2$\sqrt{3}$，∠DAB=∠BCD=90°，且AA₁=CC₁=$\frac{3}{2}$；
（1）求二面角D₁-A₁B-A的大小；
（2）求此多面体的体积．

Answer 1

分析 （1）建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
（2）根据分割法将多面体分割成两个四棱锥，根据四棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 解：（1）建立如图的空间坐标系，由题意得A₁（0，0，$\frac{3}{2}$），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C₁（-3，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-3，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
设平面D₁A₁B的法向量为$\overrightarrow{n}$=（u，v，w），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}u+\frac{3}{2}v=0}\\{-3u+\sqrt{3}v+\frac{3}{2}w=0}\end{array}\right.$，
令v=$\sqrt{3}$，则u=1，w=4，
即$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，4），
平面A₁BA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{1+3+16}}=\frac{1}{\sqrt{20}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
则二面角D₁-A₁B-A的大小为arccos$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
（2）设D₁（-2，0，k），则$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（-2，0，h-，$\frac{3}{2}$），
而$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=0，则（-2，0，h-$\frac{3}{2}$）•（1，$\sqrt{3}$，4）=-2+4h-6=0，得h=2，
由题意知平面BD₁D将多面体分成两个体积相等的四棱锥B-D₁DCC₁和B-D₁DAA₁，
∵AA₁⊥平面ABCD，∠DAB=90°，
∴AB⊥平面D₁DCC₁，
则四边形D₁DAA₁是直角梯形，
${S}_{△{D}_{1}DA{A}_{1}}=\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}+2）×2$=$\frac{7}{2}$，${V}_{B-{D}_{1}DA{A}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{7}{2}×2\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
则多面体的体积为$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间二面角的求解以及多面体的体积的计算，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．