Question

函数f′（x）是R上的可导函数，x≠0时，f′（x）+

f(x)

x

＞0，则函数g（x）=f（x）+

1

x

的零点个数为（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：

分析：①x＞0时，由 xf'（x）+f（x）=（xf（x））'＞0，得g（x）＞

1

x

对任何大于零的x成立，所以显然在x轴正半轴不可能有零点；
②x＜0时，由xf'（x）+f（x）＜0，得g（x）=

xf(x)+1

x

＜

1

x

，此时

1

x

总是负数，小于

1

x

是不可能与x轴有交点的．所以没有零点．

解答： 解：①x＞0时，已知条件就是在说：xf'（x）+f（x）=（xf（x））'＞0，
由于g（x）=

xf(x)+1

x

，且xf（x）＞0f（0）=0，
∴g（x）＞

1

x

对任何大于零的x成立，所以显然在x轴正半轴不可能有零点；
②x＜0时，已知条件就是在说 xf'（x）+f（x）＜0，
∴xf（x）＞0f（0）=0 （x＜0），
∴g（x）=

xf(x)+1

x

＜

1

x

，
此时

1

x

总是负数，小于

1

x

是不可能与x轴有交点的．
所以没有零点，
故选：D．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的零点问题，导数的应用，是一道综合题．