Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，若对任意的x₁，x₂∈[-1，2]，恒有af（1）≥|f（x₁）-f（x₂）|成立，则实数a的取值范围是[e²，+∞）．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得在区间[-1，2]上的单调性，可得最值，即有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=e，由恒成立思想，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
当-1≤x≤0时，f′（x）≤0，f（x）递减；
当0＜x≤2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则f（0）取得极小值，且为最小值0，
f（-1）-f（2）=$\frac{1}{{e}^{-1}}$-$\frac{4}{{e}^{2}}$=e-$\frac{4}{{e}^{2}}$＞0，
则f（x）的最大值为f（-1）=e，
即有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=e，
对任意的x₁，x₂∈[-1，2]，恒有af（1）≥|f（x₁）-f（x₂）|成立，
即为a•$\frac{1}{e}$≥e，
解得a≥e²．
则a的取值范围是[e²，+∞）．
故答案为：[e²，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查转化思想，以及运算能力，属于中档题．